xmau propone per oggi un quizzino della domenica che consiste nel trovare la singola cifra (di quelle da 1 a 9) che rimane fuori inserendo nelle caselle del seguente schema le altre otto:

Il quiz chiede di trovare la cifra “in piú”, e per farlo è sufficiente (ma, come vedremo, non necessario) risolvere lo schema.

Note: questo articolo fa uso di MathML, lo standard XML per le formule matematiche. Purtroppo, questo non è supportato correttamente in alcuni browser sedicenti ‘moderni’ o ‘ricchi di funzionalità’. Se le formule non hanno senso nel tuo browser, segnala il problema agli sviluppatori (del browser), o passa ad un browser che supporti questi standard.

Cominciamo dalla riga superiore: abbiamo una divisione a:b=c in cui i tre numeri a,b,c devono essere tutti distinti tra loro e compresi tra 1 e 9. Questo ci aiuta ad escludere, come valori possibili di a, sia l'1, sia i numeri primi (2, 3, 5, 7) sia i quadrati (4, 9), ciascuna con motivazioni diverse:

  • se a=1, allora deve essere b=c=1, e quindi abbiamo ripetizioni;
  • se a è primo, dovendo essere ba dovrebbe essere b=1 (poiché a non ha altri divisori, essendo primo), e quindi c=a (ripetizione);
  • se a è un quadrato, come divisori ha solo 1,a (esclusi), o un terzo valore ba per cui a:b=b, nuovamente una ripetizione.

Gli unici valori possibili per a, ovvero per la casella in alto a sinistra dello schema, sono quindi 6 oppure 8, per cui gli unici valori possibili per le altre due caselle della prima riga sono 2, 3 oppure 4.

Osserviamo ora che la colonna di destra di fatto è analoga alla riga superiore, poiché a:b=c è equivalente a c×b=a: la casella in basso a destra vale quindi 6 oppure 8, e la casella centrale della colonna vale pure 2, 3 oppure 4.

Quindi o la casella in alto a sinistra vale 6, e quella in basso a destra vale 8, oppure è al contrario. In entrambi i casi, possiamo osservare che la casella in alto a destra deve essere il divisore comune a 6 ed 8, e quindi deve essere 2.

Usando una notazione simil-sudoku possiamo scrivere:

e la presenza delle coppie 3/4 e 6/8 ci permette di escludere questi 4 valori dalle tre caselle mancanti, che possono quindi solo contenere i valori 1, 5, 7 e 9.

Soluzione del quiz

Osserviamo che già ora, senza completare lo schema, possiamo dire quale valore sarà escluso: nessuna delle tre caselle rimanenti, infatti, può avere valore 9, giacché questo renderebbe impossibili le operazioni necessarie per arrivare rispettivamente a 6 o 8.

La risposta al quiz è quindi: il 9 è la cifra mancante.

Completamento dello schema

Come per il lato superiore e quello destro, possiamo osservare che il lato sinistro e quello inferiore presentano la medesima simmetria: la sottrazione sul lato sinistro è equivalente alla somma sul lato inferiore. Ragionando analogamente a quanto visto per la divisione e la moltiplicazione, possiamo quindi dire che la casella inferiore sinistra prenderà l'addendo comune (in questo caso, 1) e le altre due caselle avranno rispettivamente 5 e 7, a seconda di dove saranno 6 ed 8.

Per completezza, possiamo quindi osservare che lo schema ha due possibili soluzioni, rivelate passando il cursore del mouse sull'immagine seguente (a sinistra e a destra per risultati diversi):