Venti venti (e piú)

Introduzione

In risposta ad un sondaggio semiserio che chiedeva quanti venti si conoscessero, ho fatto un mio sondaggio ancora meno serio su quanti “venti” si conoscessero; per limiti della piattaforma (Mastodon) su cui ho il mio account, il sondaggio prevedeva solo quattro possibili risposte, a cui ho poi aggiunto altri due “pezzi” del sondaggio (a risposta multipla), portando il numero di possibili risposte a dodici:

• 14
• 20
• 24
• XX
• 10100
• 202
• 1T1T
• 1000010.010001
• 40
• 1T0
• 26
• 3T

Di queste, tutte hanno ricevuto almeno una risposta, con l'eccezione di $1000010.010001$ e $3T$. In molti hanno “capito” il gioco, e qualcuno ha anche “svelato” il segreto (dietro opportuna copertura), ma ritengo sia opportuna una mia spiegazione.

Il gioco consisteva nello scrivere il numero venti in tanti modi diversi, e capire come fosse scritto. I modi proposti possono essere grossolanamente raccolti in quattro gruppi, che richiedono ciascuno la sua spiegazione:

1. il primo gruppo ha come unico membro la forma: XX
2. il secondo gruppo ha come membri: 14, 20, 24, 10100, 202, 40, 26
3. il terzo gruppo ha come membri: 1T1T, 1T0, 3T
4. il quarto gruppo ha come unico mebro: 1000010.010001

Andiamoli dunque a vederli in dettaglio.

Primo gruppo: i numeri romani

Immagino che per il mio pubblico italiano non avrò particolare bisogno di “spendermi” sul sistema di numerazione romano.

Brevemente, ricordo che esso è composto dai simboli

I, V, X, L, C, D, M

o piú propriamente

Ⅰ, Ⅴ, Ⅹ, Ⅼ, Ⅽ, Ⅾ, Ⅿ

se avete un font che supporta abbastanza Unicode (ed è possibile che non vediate la differenza), del valore rispettivamente di uno, cinque, dieci, cinquanta, cento, cinquecento, mille.

Gli altri numeri sono composti per “accostamento”, con fino a 3 simboli uguali consecutivi (in realtà, si trovano anche scritte con 4 simboli consecutivi uguali) i cui valori vanno sommati; un singolo simbolo di valore inferiore viene invece premesso per indicare che il valore va sottratto. Abbiamo cosí che i numeri da uno a dodici sono scritti come:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII

ovvero

Ⅰ, Ⅱ,Ⅲ, Ⅳ, Ⅴ, Ⅵ, Ⅶ, Ⅷ, Ⅸ, Ⅹ, Ⅺ, Ⅻ

usando Unicode (curiosità: lo Unicode ha codici per i numeri romani da uno a dodici, e poi per cinquanta, cento, cinquecento e mille, piú qualche variante, ma non per altre combinazioni, come quella per il venti).

Il numero venti, di nostro interesse, sarà quindi scritto come

XX

ovvero

ⅩⅩ

al solito (ma ora basta perdere tempo con i numerali romani Unicode perché mi pesa scriverli, e la maggior parte dei miei lettori non vedrà la differenza).

Secondo gruppo: una questione di base

Il lettore attento avrà notato che finora, parlando di numeri, ho preferito scriverne il valore in lettere. Il motivo —abbastanza ovviamente— è che affidarmi alla comune grafia “in cifre” avrebbe completamente fatto saltare il banco per questo secondo gruppo, dove il gioco è proprio il fatto che lo stesso valore può essere rappresentato con combinazioni di cifre diverse a seconda della base di numerazione.

L'idea del sistema di numerazione arabo è quello di adottare dieci simboli, che nell'era moderna sono per il mondo occidentale

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

con valore crescente da zero a nove. Queste cifre possono essere combinate in sequenze come ad esempio 1234 che noi leggiamo «mille duecento trenta quattro»: il valore di una cifra in un numero dipende dalla sua posizione, ed in questo esempio abbiamo quattro unità (4 nella posizione meno significativa), tre decine (3 nella posizione successiva, da destra verso sinistra, in ordine di valore), due centinaia (ovvero decine di decine, nella posizione successiva), ed infine un migliaio (ovvero decina di centinaia, nella posizione piú significativa).

Il motivo per cui si parla di decine (e decine di decine, etc) è che il sistema di numerazione arabo è un sistema decimale, con dieci cifre, che quindi richiede uno spostamento di posizione ogni dieci.

Nello stesso modo si possono avere sistemi di numerazione in qualunque base intera maggiore di uno (esiste il sistema numerico unario ma non è posizionale, quindi non ne parliamo).

L'idea è che data una base $b$ (con $b$ un qualunque intero maggiore di uno) e date $b$ cifre, una combinazione di cifre andrà letta da destra verso sinistra considerando unità, multipli della base, multipli del quadrato della base, multipli del cubo della base, e cosí via. Se la base $b$ è non superiore a dieci, per convenzione si usano i simboli da 0 alla cifra precedente il valore della base; per basi maggiori di dieci (le piú comuni sono sedici e dodici) si usano spesso delle lettere; nell'esadecimale, ad esempio, i simboli

A, B, C, D, E, F

rappresentano le cifre con valori da dieci a quindici; per le possibili scelte adottate nel sistema dozzinale, rimando alla relativa pagina Wikipedia.

Facendo un esempio concreto, in un sistema di numerazione in base cinque, con i soliti simboli (0, 1, 2, 3, 4), il numero 1234 rappresenta quattro unità, tre cinquine, due venticinquine ed una centoventicinquina, rappresentando in numeri romani il numero:

IV + III × V + II × XXV + CXXV = CXCIV

ovvero il numero centonovantaquattro. Se indichiamo la base in pedice, come consuetudine, ma rappresentandola con i numeri romani per evitare confusione sui simboli, abbiamo quindi

$${1234}_V={194}_X$$

Il nostro “gioco del venti” sarà quello di indovinare in quale base ciascuna delle combinazioni di cifre proposte rappresenta il numero venti (due decine).

Ricordiamo che a questo gruppo appartengono le combinazioni:

14, 20, 24, 10100, 202, 40, 26

e che la seconda è ovviamente quella con cui abbiamo tutti familiarità (20 è il numero venti in base dieci).

Anche chi non ha troppa dimestichezza con il binario (sistema di numerazione in base due, che ha come unici simboli 0, 1) può facilmente sospettare che 10100 possa essere il venti in base due. La cosa può essere confermata ricordando che venti si può scomporre in sedici piú quattro, dove sedici è la quarta potenza di due, e quattro la seconda potenza: nel sistema binario, avremo quindi “una quarta potenza di due” (un 1 in quinta posizione da destra, perché la prima posizione rappresenta le unità, ovvero la potenza zero della base), ed “una seconda potenza di due” (un 1 in terza posizione da destra), ovvero proprio 10100.

Per la base di rappresentazione delle altre potremmo andare cosí a tentativi, ricordandoci che se il numero sembra piú “piccolo” la base è maggiore, e viceversa. Possiamo quindi ipotizzare che il 14 sia in una base maggiore di dieci, e tutti gli altri in una base minore.

C'è in verità un trucchetto che può tornarci utile per capire qual è la base, poiché sappiamo qual è il valore: scomporre il numero nelle sue componenti posizionali e risolvere l'equazione che pone il tutto uguale a venti.

Applichiamo per cominciare (e come esempio) la procedura al 14. Usando i numeri romani per indicare i valori senza confonderci con le basi:

$$14=XX\Rightarrow I\times b+IV=XX\Rightarrow b=XX-IV\Rightarrow b=XVI$$

ovvero: 14 è venti in base sedici. Analogamente:

$$24=XX\Rightarrow II\times b+IV=XX\Rightarrow II\times b=XX-IV\Rightarrow b=\frac{XVI}{II}=VIII$$

ovvero: 24 è venti in base otto.

Per quanto riguarda il 202, dobbiamo considerare che qui abbiamo cifre in terza posizione, che rappresentano la base al quadrato. Quindi:

$$202=XX\Rightarrow II\times b^{II}+II=XX\Rightarrow b^{II}+I=X\Rightarrow b^{II}=IX\Rightarrow b=III$$

ovvero: 202 è venti in base tre.

È cosí molto facile vedere che 40 è venti in base cinque (quattro volte la base dà venti, quindi la base è un quarto di venti, cioè cinque), ed infine il 26 non può che essere venti in base sette (metà di quattordici, che è venti meno sei).

Una tabella riepilogativa, ordinata per base ed aggiungendo qualche base mancante che potrebbe comunque essere interessante abbiamo quindi che:

Per ovvie ragioni non continuiamo con basi maggiori di venti, dove vi sarebbe una cifra dedicata specificamente a questo valore.

Una curiosità: in tutte le basi da due a venti, il numero venti può essere rappresentato con le sole cifre decimali, anche in basi maggiori di dieci. Ed interpretando il numero come se fosse un numero decimale si vede come questo scenda inizialmente molto velocemente (da 10100 a 202 è un fattore cinquanta), poi piú lentamente (un fattore circa due fino a 40), poi di un semplice otto, poi di un sei, e poi ripetutamente di un due fino a 20 (in base dieci), e poi ancora di uno per base fino al 10 in base venti.

Terzo gruppo: bilanciamoci

Per introdurre il terzo gruppo, i cui membri sono —ricordiamo—

1T1T, 1T0, 3T

bisognerebbe capire cosa rappresenta quel simbolo T.

Abbiamo osservato come per i sistemi posizionali in una data base $b$ siano necessari $b$ simboli. Tipicamente, questi hanno valori che vanno da zero (0) al valore immediatamente precedente la base (ad esempio, in base dieci da zero a nove, in base tre da zero a due). Tuttavia, nel caso in cui la base sia dispari, oltre allo zero abbiamo un numero pari di simboli. Cosa succede allora se invece di distribuirli tutti “dallo stesso lato” (rispetto allo zero) li distribuiamo “metà prima e metà dopo”?

Si ottiene cosí una rappresentazione in una base detta “bilanciata”, e la peculiarità è che in questo caso metà dei simboli avranno valori negativi. Cosí ad esempio nel sistema numerico ternario bilanciato avremo simboli che rappresentano i valori “da meno uno a piú uno”, nel sistema quinario bilanciato avremo simboli che rappresentano i valori “da meno due a piú due” in quello undecimale (base undici) bilanciato avremo simboli che rappresentano i valori “da meno cinque a piú cinque” e cosí via.

Il problema grosso diventa qui di tipo tipografico: come rappresentare facilmente le cifre con valore negativo? Alcune convenzioni sono di utilizzare le medesime cifre positive, ma riflesse verticalmente o ruotate “a testa in giú”, oppure con una barra sopra (integrandovi cosí il segno meno). Nel caso specifico del sistema ternario bilanciato, la convenzione piú comune è di utilizzare il simbolo T per rappresentare “meno uno”.

Come si dovrebbe quindi scrivere venti in ternario bilanciato? Ricordiamo che nel sistema ternario “normale” (non bilanciato) il numero venti si scrive 202 (due unità, piú due quadrati di tre). Ma il simbolo 2 non esiste nel ternario bilanciato: invece di avere due unità, avremo una terzina meno una unità: 1T. Allo stesso modo, non potremo avere due nove (quadrati di tre): avremo invece un cubo di tre meno un quadrato di tre: 1T00 (ventisette meno nove fa infatti diciotto). Il nostro 202 in ternario non bilanciato diventa 1T1T in ternario bilanciato: laddove il non bilanciato scompone il venti in diciotto piú due, il bilanciato lo scompone in ventisette meno nove piú tre meno uno.

Sembra strano? È ventisette meno sette, dove sette è sei piú uno, dove sei è nove meno tre:

$$1000-((100-10)+1)=1000-100+10-1$$

e nel ternario bilanciato, l'opposto si ottiene semplicemente scambiando 1 e T.

Cosa succede nelle altre basi dispari? Vediamo ad esempio in base cinque bilanciata: ricordiamo che in questo caso non possiamo avere piú di due di qualcosa. Il nostro venti dovrebbe essere quattro cinquine, ma questo non è possibile: dovremo quindi partire da una venticinquina (cinque al quadrato) e poi togliere una cinquina: possiamo ancora riciclare la T per rappresentare “meno uno”, ed il nostro venti diventa 1T0.

Ed in base sette? Stavolta non possiamo avere piú di tre di qualcosa, quindi non possiamo scomporre il venti in due volte sette piú sei: dovremo scomporlo in tre volte sette (ventuno) meno uno: 3T.

Curiosamente, in base nove bilanciata la rappresentazione rimane 22, poiché sono entrambe cifre presenti nella versione bilanciata.

La questione si fa piú spinosa nel caso della base undici: nel caso bilanciato, le cifre avranno valori “da meno cinque a piú cinque”, quindi non potremo rappresentare il venti come “undici piú nove”: dovremmo rappresentarlo come due volte undici meno due. E non esiste una convenzione grafica normale per la cifra con valore meno due. Potremmo però inventarne una sul momento, adottando la Z per rappresentare “meno due”, sicché venti diventerebbe 2Z.

L'unica vera rogna è la base tredici: in base bilanciata avremo cifre con valori da meno a piú sei, sicché il venti dovrebbe essere scritto come due volte tredici meno sei, ma che simbolo adottare per la cifra “meno sei”? Per questo motivo, nella tabella seguente ci affideremo invece alla convenzione di soprasegnare le cifre negative:

(non mi è chiaro perché vengono formattati in maniera diversa i blocchi con cifre negative, ma questo non è un problema da risolvere alle 11 di sera, quindi sarà per un'altra volta).

Quarto gruppo: il mistero del punto

L'ultimo venti da studiare (per oggi) è lo stranissimo

1000010.010001

che in Italia ed altri paesi dove si predilige l'uso della virgola come separatore “decimale”, sarebbe meglio scritto come

1000010,010001

o ancor meglio come

1 000 010,010 001

per aumentarne la leggibilità.

Ma cos'è questa follia? Come può un numero intero richiedere una parte frazionaria per essere rappresentato?

Il segreto è nella “magica” sezione aurea. Vi ricordate “il medio proporzionale tra il tutto e la parte rimanente”? Dalla proporzione

$$1:\Phi =\Phi :(1-\Phi )$$

si ottiene l'equazione

$${\Phi }^2=1-\Phi$$

che ha soluzione, espressa in base dieci:

$$\Phi =\frac{\sqrt{5}-1}{2}.$$

La sezione aurea è proprio il rapporto $\varphi =1:\Phi$ (il valore Phi è detto coniugato della sezione aurea) e vale (ancora espressa in base dieci):

$$\varphi =\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{2(\sqrt{5}+1)}{5-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}=1+\Phi .$$

L'aspetto particolare di $\varphi$ è che soddisfa l'equazione

$${\varphi }^2=1+\varphi$$

da cui, piú in generale

$${\varphi }^{n+1}={\varphi }^n+{\varphi }^{n-1}$$

ovvero: la somma di due potenze consecutive di $\varphi$ equivalgono alla potenza successiva (proprietà di normalizzazione).

Una delle tante peculiarità di $\varphi$ è che è possibile esprimere ogni numero intero come somma di sue potenze positive e negative (ovvero potenze di $\varphi$ e potenze di $\frac{1}{\varphi }=\Phi$).

Come? Facciamo qualche esempio.

Abbiamo ovviamente ${\varphi }^0=1$ (è vero per ogni numero diverso da zero, e quindi anche per $\varphi$).

Per le proprietà di $\varphi$ e $\Phi =\frac{1}{\varphi }$ abbiamo

$${\varphi }^2=1+\varphi$$

$${\Phi }^2=1-\Phi$$

e quindi

$${\varphi }^2+{\Phi }^2=2+\varphi -\Phi$$

da cui

$$2={\varphi }^2-\varphi +\Phi +{\Phi }^2=1+\Phi +{\Phi }^2={\varphi }^0+{\varphi }^{-1}+{\varphi }^{-2}=\varphi +{\varphi }^{-2}$$

dove l'ultima uguaglianza viene dalla proprietà di normalizzazione applicata alla potenza $n=0$.

Cosí procedendo possiamo continuare per i successivi numeri naturali:

$\begin{array}{ll}3=2+1& =\varphi +{\varphi }^{-2}+1={\varphi }^1+{\varphi }^0+{\varphi }^{-2}={\varphi }^2+{\varphi }^{-2}\\ 4=2^2& ={\varphi }^2+2\varphi {\varphi }^{-2}+{\varphi }^{-4}={\varphi }^2+(\varphi +{\varphi }^{-2}){\varphi }^{-1}+{\varphi }^{-4}=\\ & ={\varphi }^2+1+{\varphi }^{-3}+{\varphi }^{-4}={\varphi }^2+{\varphi }^0+{\varphi }^{-2}\\ 5=4+1& ={\varphi }^2+1+{\varphi }^{-2}+1={\varphi }^2+2+{\varphi }^{-2}={\varphi }^2+\varphi +{\varphi }^{-2}+{\varphi }^{-2}=\\ & ={\varphi }^3+2{\varphi }^{-2}={\varphi }^3+(\varphi +{\varphi }^{-2}){\varphi }^{-2}={\varphi }^3+{\varphi }^{-1}+{\varphi }^{-4}\end{array}$

e cosí via.

Questa particolarissima proprietà della sezione aurea permette di definire quella che si chiama la base aurea, un sistema di numerazione posizionale in cui la base è $\varphi$ e i simboli ammessi sono solo 0 (come coefficiente delle potenze della base che mancano nella rappresentazione) e 1 (dove invece la base è presente), con il separatore decimale a separare le potenze positive da quelle negative.

Dall'espansione in somme di potenze di $\varphi$ dei primi cinque numeri abbiamo quindi la loro rappresentazione aurea (permettetemi qui di usare il punto come separatore decimale, e la virgola come separatore della successione):

1, 10.01, 100.01, 101.01, 1000.1001

Abbiamo ora tutti gli elementi per calcolarci la rappresentazione aurea del venti. Abbiamo infatti:

$\begin{array}{ll}20=4\cdot 5& =({\varphi }^2+{\varphi }^0+{\varphi }^{-2})\cdot ({\varphi }^3+{\varphi }^{-1}+{\varphi }^{-4})=\\ & ={\varphi }^5+\varphi +{\varphi }^{-2}+{\varphi }^3+{\varphi }^{-1}+{\varphi }^{-4}+\varphi +{\varphi }^{-3}+{\varphi }^{-6}=\\ & ={\varphi }^5+{\varphi }^3+2\varphi +{\varphi }^{-1}+{\varphi }^{-2}+{\varphi }^{-3}+{\varphi }^{-4}+{\varphi }^{-6}=\\ & ={\varphi }^5+{\varphi }^3+2\varphi +{\varphi }^0+{\varphi }^{-2}+{\varphi }^{-6}=\\ & ={\varphi }^5+{\varphi }^3+{\varphi }^2+{\varphi }^{-1}+{\varphi }^0+{\varphi }^{-2}+{\varphi }^{-6}=\\ & ={\varphi }^5+{\varphi }^4+\varphi +{\varphi }^{-2}+{\varphi }^{-6}=\\ & ={\varphi }^6+\varphi +{\varphi }^{-2}+{\varphi }^{-6}\end{array}$

da cui la rappresentazione aurea 1000010.010001 con la sua affascinante quasi simmetria.

(Non) finisce qui

Ovviamente quelli presentati qui sono solo una misera frazione di tutte le rappresentazioni possibili per il numero venti. Esistono dopo tutto una miriade di sistemi di numerazioni e di simbologie per la rappresentazione delle cifre (anche già solo i famosi numeri arabi hanno una controparte “orientale” le cui cifre, pur avendo lo stesso valore, hanno una diversa veste grafica (٠١٢٣٤٥٦٧٨٩). A questi possiamo aggiungere i sistemi di numerazione passati e presenti di ogni parte del globo, dal greco antico all'ebraico, dal glagolitico al cinese, dal cistercense al giapponese.

Ma s'è fatta una certa, e qui si rischia di non finire piú.