Risolvere un quizzino della domenica (5)

.mau. propone per oggi un quizzino della domenica di stampo geometrico: calcolare l'area del quadrato blu in figura, sapendo che prolungando i lati questi intersecano l'asse delle ascisse a 3, 5, 7, 13:

Un quadrato blu sul piano xy, ruotato rispetto agli assi cartesiani.
Prolungando i lati, questi toccano l'asse delle ascisse a 3, 5, 7 13. — Lo schema proposto

Per risolverlo, chiamiamo $l$ il lato del quadrato. Se trasliamo il quadrato finché il vertice inferiore si trova al punto $(5, 0)$ , ci ritroveremo con un triangolo rettangolo (rosso in figura) la cui ipotenusa è lunga 2 (dal punto $(3, 0)$ al punto $(5, 0)$ ), ed il cateto maggiore è lungo $l$ :

La figura di prima, con il quadrato traslato in modo che il vertice inferiore sia in (5, 0). — Con il quadrato spostato in (5, 0)

Effettuando invece la traslazione dall'altro lato, portando il medesimo vertice al punto $(7, 0)$ , ci ritroveremo con un triangolo rettangolo (verde in figura) la cui ipotenusa è lunga 6 (dal punto $(7, 0)$ al punto $(13, 0)$ ), ed il cateto minore è lungo $l$ :

La figura di prima, con il quadrato traslato in modo che il vertice inferiore sia in (7, 0). — Con il quadrato spostato in (7, 0)

Osserviamo infine che i due triangoli in questione sono simili (essendo creati da rette rispettivamente parallele), per cui il cateto maggiore del triangolo verde è lungo $3 l$ (essendo la sua ipotenusa lunga 3 volte l'ipotenusa del triangolo rosso, ed avendosi la medesima proporzione tra i cateti maggiori).

Il triangolo verde ha quindi lati $l, 3 l, 6$ , da cui segue, per il teorema di Pitagora, che $l^{2} + 9 l^{2} = 36$ ovvero $10 l^{2} = 36$ e quindi $l^{2} = \frac{36}{10}$ che è l'area del quadrato.