Risolvere un quizzino della domenica (4)

.mau. propone per oggi un quizzino della domenica di stampo geometrico: è piú lunga la linea blu o quella rossa nel disegno seguente?

Quattro quadrati affiancati.
Il rettangolo risultate ha il bordo superiore e quello destro
coperti da una spezzata blu.
Una spezzata rossa formata da tre segmenti obliqui attraversa il rettangolo
dal vertice in alto a sinistra a quello in basso a destra. — Lo schema proposto

La spezzata blu seguete il bordo superiore del rettangolo ed il lato destro, mentre la spezzata rossa è formata da tre segmenti uguali. Essendo il rettangolo formato da quattro quadrati, la spezzata blu ha lunghezza $(4 + 1) l = 5 l$ dove $l$ è il lato del quadrato. La domanda quindi è: quanto è lunga la spezzata rossa? La risposta è ovviamente $3 s$ dove $s$ è la lunghezza del singolo segmento.

Osserviamo che i segmenti da cui è composta la spezzata rossa sono le diagonali di altrettanti rettangoli (uguali poiché uguali sono i segmenti) la cui unione è il rettangolo originario.

La figura precedente, con aggiunte due linee trattegiate ad indicare
i confini dei sotto-rettangoli in cui la spezzata ripartisce il rettangolo complessivo. — I sotto-rettangoli della spezzata rossa

Prendiamo uno di questi sotto-rettangoli ed osserviamo che per costruzione il lato lungo è $\frac{4}{3}$ di $l$ , e per evitare di lavorare con le frazioni, poniamo $l = 3 u$ .

Abbiamo quindi che la spezzata blu ha lunghezza $5 l = 15 u$ , mentre un singolo segmento $s$ della spezzata rossa è la diagonale di un rettangolo di lati $3 u$ (lato corto) e $4 u$ (lato lungo). Per il Teorema di Pitagora (o semplicemente ricordando che $(3, 4, 5)$ è una terna pitagorica) ne segue che $s$ ha lunghezza $5 u$ , e quindi la spezzata rossa ha lunghezza $3 \times 5 u = 15 u$ .

Le due spezzate hanno la medesima lunghezza.

(Curiosità: siamo abituati a “tagliare in diagonale” per accorciare la strada, questo è un curioso esempio di un modo di farlo lasciando invariata la lunghezza complessiva del percorso.)