Risolvere un quizzino della domenica (1)

Il .mau. propone per oggi un quizzino della domenica dal seguente testo:

In un articolo apparso il secolo scorso sul bollettino parrocchiale di Villar Perosa, si racconta che il senatore Giovanni Agnelli in persona premiò un contadino che aveva nove figli per una curiosa proprietà aritmetica. Tutti i figli erano infatti nati allo stesso numero di anni di distanza l'uno dal successivo; ma soprattutto la somma dei quadrati delle loro età in quell'anno era pari al quadrato dell'età del contadino. Quali erano queste età?

Vediamo di risolverlo.

Ratio e definizioni

Sia $A$ l'età del figlio minore e sia $D$ la cadenza con cui sono nati i figli: avremo allora che il penultimo ha $A+D$ anni, e così via fino al maggiorenne, di età $B=A+8D$ anni. La somma dei quadrati di queste età, dopo un po' di semplice aritmetica, si può scrivere così:

$$S=9A^2+72AD+204D^2$$

ed il problema si riduce quindi a trovare $A,D,C$ interi tali che

$$C^2=9A^2+72AD+204D^2$$

con alcune condizioni al contorno, del tipo $D>0$, $A>0$, $C>A+8D$ etc.

Procedimento

In generale, trovare interi tali che loro combinazioni algebriche diano quadrati perfetti non è banale, ma nel nostro caso possiamo aiutarci osservando che l'espressione che vorremmo ridurre ad un quadrato perfetto è molto simile all'espansione del quadrato di una somma, il cui primo quadrato è $9A^2$, il doppio prodotto è ‘vicino’ a $72AD$ ed il secondo quadrato è ‘vicino’ a $204D^2$.

L'idea è quindi quella di trasformare questa espressione nel quadrato di una somma di interi, ‘trasformando’ opportunamente il secondo e il terzo addendo senza ovviamente alterare il valore numerico dell'espressione stessa.

A tal fine, osserviamo che 204 (il coefficiente numerico del secondo quadrato) non è un quadrato perfetto, ma è compreso tra $196={14}^2$ e $225={15}^2$: è quindi legittimo sperare che l'espressione si possa trasformare in un quadrato con uno di questi due coefficienti. A tal fine, calcoliamo:

$${(3A+14D)}^2-S$$

e

$${(3A+15D)}^2-S,$$

ottenendo rispettivamente

$$4(3A-2D)D$$

e

$$3(6A+7D)D,$$

termini che noi vogliamo siano nulli, nell'ambito sempre delle condizioni enunciate alla fine del precedente paragrafo. Questo comporta in particolare che il secondo caso non ammette soluzione, poiché annullarlo ci dà come condizioni o $D=0$ (impossibile) o $6A+7D=0$, che ammette soluzioni solo se $A$ e $D$ hanno segno opposto (o sono entrambi nulli), mentre noi vogliamo che sia $A$ che $D$ siano strettamente positivi.

Ne consegue che l'espressione da noi cercata è la prima, che si annulla per $3A=2D$. Sostituendo quindi ad esempio $A=\frac{2D}{3}$ nell'espressione per $S$ otteniamo

$$S=256D^2$$

e quindi $C=16D$.

Sappiamo anche che $D$ deve essere multiplo di 3, poiché altrimenti $A$ non sarebbe intero, ed abbiamo quindi almeno due soluzioni possibili:

Spoiler Alert!

• per $D=3$ si ha $A=2,B=26$ e $C=48$;
• per $D=6$ si ha $A=4,B=52$ e $C=72$;

e ci fermiamo qui perché per il successivo valore $D=9$ avremmo $C=144$ e non siamo più ai tempi dei matusalemmi. È probabile che come soluzione si debba in realtà prendere la prima, perché un contadino 72enne con un figlio di 4 anni è poco credibile, benché non impossibile.

Postilla

Il testo del problema è stato emendato per rendere univoca la soluzione aggiungendo questa nota:

mentre la somma degli anni dei figli era uguale al triplo degli anni della moglie

e intendendo che la moglie del contadino sia anche la madre di tutti i suoi figli, questo porta la moglie ad avere un'età $M$ che soddisfi

$$3M=9(A+4D)$$

da cui, semplificando e introducendo le nostre condizioni su $A$ e $D$,

$$M=3(A+4D)=14D$$

che per $D=3,6$ ci restituisce $M=42,84$ rispettivamente; questo permette di scartare la soluzione $D=6$ essendo praticamente impossibile che una donna abbia un figlio ad 80 anni. È però interessante notare che con questa condizione la donna aveva 16 anni quando ha partorito il primo figlio.