La prova del nove

Come ho già menzionato, ho scoperto con non poca sorpresa che a scuola non insegnano piú la prova del nove, e benché la pagina Wikipedia dica già tutto quello che c'è da dire, ho deciso di inaugurare proprio con questa la mia serie sulla “scuola dimendicata”.

Cos'è

Cos'è quindi la prova del nove? È un meccanismo semplice e veloce per verificare la correttezza di un'operazione. La verifica non è completa (nel senso che non coglie alcuni errori: ha falsi positivi), ma se fallisce siamo sicuri di aver commesso uno sbaglio (non ha falsi negativi).

Come funziona

La prova del nove funziona sommando tra loro le cifre di ciascun operando, eliminando i 9, fino ad ottenere due numeri ad una cifra (riduzione che rappresenteremo con il simbolo $\equiv$). Se l'operazione tra questi operandi ridotti dà un risultato diverso dalla riduzione del risultato originale, abbiamo commesso un errore, altrimenti il risultato è probabilmente giusto (ma potrebbe essere comunque sbagliato).

Esempio

Abbiamo provato a calcolare $1024\times 768$ e ci è venuto $785432$.

Come prima cosa, riduciamo gli operandi ed il risultato.

Riduzione di 1024:

$$1024\equiv 1+0+2+4=1+2+4=3+4=7.$$

Riduzione di 768 (qui sfruttiamo il fatto che possiamo fare riduzioni parziali intermedie, trasformando il $13$ in $1+3=4$):

$$768\equiv (7+6)+8=13+8\equiv 4+8=12\equiv 3.$$

Riduzione di 785432 (qui sfruttiamo il fatto che nelle riduzioni parziali possiamo direttamente eliminare 0 e 9):

$$785432\equiv (7+8)+5+4+(3+2)=15+5+(4+5)=20+9\equiv 2.$$

(Notate come avremmo potuto anche continuare $20+9=29\equiv 11\equiv 2$, facendo però piú operazioni.)

Se moltiplichiamo i nostri operandi ridotti otteniamo $7\times 3=21$, che ridotto ulteriormente viene $3$: sappiamo quindi che abbiamo commesso un errore, perché la riduzione del risultato ($2$) è diversa dal risultato applicato agli operandi ridotti ($3$). La prova ci dice anzi qualcosa di piú: probabilmente l'errore che abbiamo commesso è una sottostima di una delle cifre, poiché $2<3$. (Il risultato corretto della moltiplicazione è infatti $786432$, non $785432$.)

Rappresentazione

Convenzionalmente, la prova del nove viene rappresentata in uno schemino con quattro numeri “in croce”: si traccia una croce (＋), nelle caselle superiori si mettono le riduzioni degli operandi, in quella in basso a sinistra la riduzione del risultato, ed in quella in basso a destra il risultato ottenuto operando sulle riduzioni:

Alle quattro operazioni

La prova del nove può essere applicata ad addizione, moltiplicazione, sottrazione e divisione. Per le due operazioni inverse (sottrazione e divisione) conviene però applicarla al contrario.

Invece di verificare una sottrazione, verificate se la somma della riduzione di differenza e sottraendo vi dà la riduzione del minuendo. Ad esempio per verificare se $1024-768=256$ (ridotti: $7-3=4$) controllate se $256+768=1024$ (ridotti: $4+3=7$).

Questo è particolarmente importante per la divisione con resto. Abbiamo infatti che $2048:768=2$ con resto $512$, ma se facciamo l'operazione sulle riduzioni degli operandi ($5:3$) otteniamo $1$ con resto di $2$, che sembrerebbe indicare un errore1, mentre se verifichiamo che $768\times 2+512=2048$ in forma ridotta abbiamo

$$3\times 2+8=6+8=14=5,$$

che corrisponde alla riduzione del dividendo $2048$.

Nessuno è perfetto

Si può sbagliare anche nella prova del nove. Errare è umano, e anche sommando tanti numeri piccoli si può sbagliare. Ad esempio, mentre scrivevo il paragrafo di esempio sulla moltiplicazione avevo inizialmente sbagliato a fare la riduzione del risultato, ed ero arrivato ad una riduzione di $5$: in questo caso avrei comunque osservato una discrepanza, ma sarebbe stato un caso (e mi sono accorto dell'errore perché avendo costruito io l'esempio sapevo già che la riduzione del risultato errato doveva darmi $2$, avendo intenzionalmente cambiato una cifra in difetto).

Quindi in caso di discrepanza, come prima cosa ricontrollate le riduzioni! Sono piú facili da ricontrollare dell'operazione originale (soprattutto nel caso della moltiplicazione).

Ma soprattutto, ricordatevi che la prova del nove non trova tutti gli errori. Se avessimo sbagliato la nostra moltiplicazione ottenendo $768432$ invece del risultato corretto $786432$, non ci saremmo accorti di aver sbagliato, poiché:

$$7+6+8+4+3+2=7+8+6+4+3+2,$$

per la proprietà commutativa dell'addizione.

BONUS: la prova dell'undici

Esiste una prova simile alla prova del nove, e che non insegnavano a scuola nemmeno ai miei tempi, che è la prova dell'11.

Se vi ricordate il criterio di divisibilità per 9, questo consisteva nel sommare tutte le cifre, ripetutamente, fino ad ottenere un numero che fosse un multiplo di 9, o per il quale fosse facile verificare che non era un multiplo di 9. Il parallelo tra il criterio di divisibilità per 9 e la riduzione dei numeri nella prova del nove non è un caso, ed è legata all'aritmetica modulare, che sta alla base della prova e che non andrò qui a spiegare.

Piuttosto, se vi ricordate, esiste anche un criterio di divisibilità per 11, che consiste nell'alternare somme e differenze, partendo dalla cifra meno significativa: bene, sulla stessa falsariga si può fare una prova dell'undici.

Torniamo al nostro esempio di $1024\times 768$. In questo caso le nostre riduzioni vanno fatte in questa maniera alternata, e bisogna ricordarsi, nel caso in cui un numero venga negativo, di prendere il suo complementare con (ovvero aggiungere) $11$.

La riduzione di $1024$ è $4-2+0-1=4-3=1$.

La riduzione di $768$ è $8-6+7=2+7=9$.

Il prodotto dei numeri ridotti è $1\times 9=9$.

La riduzione di $785432$ è2:

$$785432\equiv 2-3+4-5+8-7=14-15=-1\equiv 10,$$

dove abbiamo applicato la correzione per il numero negativo. Sapevamo già che questo risultato era sbagliato dalla prova del nove, e questo lo conferma.

La riduzione del risultato corretto $786432$ è:

$$786432\equiv 2-3+4-6+8-7=14-16=-2\equiv 9,$$

che corrisponde al prodotto dei fattori ridotti.

Infine, se controlliamo la riduzione del risultato errato $768432$, che la prova del nove dava come falso positivo, abbiamo:

$$768432\equiv 2-3+4-8+6-7=12-18=-6\equiv 5,$$

che è diverso dal prodotto dei fattori ridotti: la prova dell'undici riconosce un errore che la prova del nove non può riconoscere.

Quale prova?

Esistono errori che la prova del nove trova e la prova dell'undici non trova?

Tecnicamente è possibile: può succedere ad esempio se sbagliamo due cifre consecutive (o comunque una di posto pari ed una di posto dispari) della stessa quantità. Un esempio di risultato errato che il 9 trova e l'11 no è il seguente, costruito “ad arte”:

Prendiamo $11\times 171=1771$ invece del corretto $1881$.

Nella prova del nove abbiamo: $2\times 0=0$ e $1771$ riduce a $7$, quindi sappiamo che è sbagliato.

Nella prova dell'undici, la riduzione di $11$ è 0, e la riduzione di $171$ è $1-7+1=-5\equiv 6$, quindi abbiamo: $0\times 6=0$, ma la riduzione di $1771$ è $1-7+7-1=0$: la prova dell'undici non trova l'errore.

Detto questo, è molto difficile che errori simili si verifichino in calcolo manuali, per cui alcuni considerano la prova del nove “superflua” avendo a disposizione la prova dell'undici, che trova piú errori “comuni” di quella del nove.

D'altra parte, è anche vero che la prova del nove è molto piú semplice (tutte somme, non bisogna alternare con il segno, non bisogna “correggere” eventuali risultati negativi, è facile eliminare i 9); e questo è il motivo per cui la prova del nove veniva insegnata a scuola, ai miei tempi fin dalle elementari, senza dovercisi preoccupare di spiegare i numeri negativi o l'aritmetica modulare.