Lavorare per, lavorare con

Versione tl;dr (e conclusioni di tutto il discorso): lavorare per qualcuno e lavorare con qualcuno sono due tipi di relazioni indipendenti: si può quindi lavorare per qualcuno, ma non con loro; si può lavorare per qualcuno e con loro; si può lavorare con qualcuno, ma non per loro. Sono quindi due insiemi con intersezione non vuota.

Motivazione: una delle tipiche discussioni inutili che si fanno per passare tempo in palestra.

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Per una comprensione più dettagliata del discorso, cominciamo con un breve ripasso di teoria degli insiemi (solo quello che serve).

Sia $X$ un insieme. Una relazione (binaria) tra gli elementi di $X$ è un sottoinsieme del prodotto cartesiano di $X$ con sé stesso. Se $R \subseteq X \times X$ è una relazione ed $x, y \in X$ , diremo che $x$ è in relazione con $y$ (secondo $R$ ) se $(x, y) \in R$ , ed in tal caso scriveremo per semplicità $x R y$ .

Su uno stesso insieme $X$ si possono definire più relazioni. Alcuni tipi di relazione sono particolarmente diffusi e/o importanti. Tra questi ricordiamo:

relazioni d'ordine: una relazione $R \subseteq X \times X$ si dice d'ordine se essa gode delle proprietà riflessiva ( $x R x$ per ogni $x \in X$ ), antisimmetrica (se $x R y$ e $y R x$ allora $x = y$ ) e transitiva (se $x R y$ e $y R z$ allora $x R z$ ); un esempio classico di relazione d'ordine è la relazione di minore o uguale definita sui numeri (naturali, razionali, reali);
relazioni d'ordine stretto: una relazione $R \subseteq X \times X$ si dice d'ordine stretto se essa gode delle proprietà irriflessiva ( $x R x$ per nessun $x \in X$ ), asimmetrica (se $x R y$ allora non può aversi $y R x$ ) e transitiva (se $x R y$ e $y R z$ allora $x R z$ ); un esempio classico di relazione d'ordine stretto è la relazione di minore definita sui numeri (naturali, razionali, reali);
relazioni di equivalenza: una relazione $R \subseteq X \times X$ si dice di equivalenza se essa gode delle proprietà riflessiva ( $x R x$ per ogni $x \in X$ ), simmetrica (se $x R y$ allora $y R x$ ) e transitiva (se $x R y$ e $y R z$ allora $x R z$ ); un esempio classico di relazione d'ordine è la relazione di similitudine definita sull'insieme dei triangoli del piano.

Veniamo ora alla nostra questione: prendiamo l'insieme $X$ delle persone che lavorano, e definiamo su questo insieme due relazioni.

La prima relazione, che indicheremo con $C$ , è la relazione del ‘lavorare con’. Se $x, y$ sono persone ed $x$ lavora con $y$ , scriveremo $x C y$ . Questa relazione gode sicuramente della proprietà riflessiva (nel senso che ciascuno lavora con sé stesso) e di quella simmetrica (se uno lavoro con un altro, è anche vero che l'altro lavora con l'uno); se quando uno lavora con un altro e questo lavori con una terza persona è sempre vero che il primo lavori con il terzo, allora sarà anche vera la proprietà transitiva e quindi la relazione $C$ potrà essere considerata una relazione d'equivalenza.

La seconda relazione, che indicheremo con $P$ , è la relazione del ‘lavorare per’. Se $x$ lavora per $y$ , scriveremo $x P y$ . A seconda se si ammette che si lavori per sé stessi o meno, la relazione $P$ è abbastanza ovviamente una relazione di ordine semplice o in senso stretto.

Siccome si ha $C, P \subseteq X \times X$ , possiamo calcolare l'intersezione delle due relazioni (ovvero lavorare per e con qualcuno) e questa sarà ancora una relazione tra gli elementi di $X$ ( $C \cap P \subseteq X \times X$ ). Se essa è vuota, non vuota, uguale alla diagonale (ovvero se ogni elemento è in relazione ‘per e con’ solo con sé stesso) o altro dipende ovviamente dalle relazioni $C$ e $P$ .

Facciamo un esempio. Sia dato un insieme $X$ i cui elementi sono $a, b, c, d$ e supponiamo che le relazioni $C$ e $P$ siano così definite:

$b$ lavora con $a$ e con $d$ ; considerando la simmetria e riflessività di $C$ , avremo le relazioni $a C a, b C b, c C c, d C d, a C b, b C a, b C d, d C b$ (in questo caso stiamo supponendo che non valga la proprietà transitiva, ed in particolare che anche se $b$ lavora con $a$ e con $d$ , $a$ non lavora con $d$ )
$a$ e $b$ lavorano per $c$ , e $b$ lavora anche per $d$ ; senza considerare la riflessività per $P$ , avremo $a P c$ , $b P c$ , $b P d$ (questa relazione $P$ è una relazione d'ordine in senso stretto)

In tal caso, la relazione lavorare per e con lega soltanto $b$ e $d$ essendo $(b, d)$ l'unico elemento dell'intersezione $C \cap P$ (relazioni $b C d$ e $b P d$ )

Se nella relazione $P$ si avesse pure $b P a$ , gli elementi di $C \cap P$ sarebbero $(b, d)$ e $(b, a)$ .

Se invece in $P$ considerassimo anche la riflessività (cioè che ciascuno lavora per sé stesso), allora a lavorare per e con qualcuno saranno: ciascuno con sé stesso, $b$ per e con $d$ : $(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (b, d)$ .