xmau propone per oggi un quizzino della domenica che consiste nel “risolvere” una semplice somma espressa utilizzando i numerali romani (I, V, X) in maniera impropria: invece di rappresentare addendi e risultato semplicemente esprimendo i numeri con il meccanismo romano, i numeri sono espressi nel sistema decimale posizionale che ci è familiare, ma ciascuna delle cifre è espressa con i numerali romani1: I per 1, II per 2, III per 3, IV per 4, V per 5, VI per 6, VII per 6, VIII per 8, IX per 9, con l'aggiunta difficoltà dell'assenza di spazi tra le cifre.

L'esposto del problema è il seguente:

IVIIIIIVIII +
IIVIIIII    =
-------------
VIIXIVI

L'assenza di spazi è proprio ciò che rende questa una “crittosomma”: è infatti impossibile, con un semplice colpo d'occhio, capire ad esempio se una sequenza come III rappresenta la cifra 3 o una delle coppie di cifre 21 e 12.

L'unica “sequenza” di cui possiamo essere sicuri è IX, giacché X rappresenta il valore 10 secondo il sistema di numerazione romano, e nel sistema posizionale da noi adottato non esiste una cifra con questo valore, per cui IX è sicuramente 9. Possiamo quindi “semplificare” la nostra crittosomma in:

IVIIIIIVIII +
IIVIIIII    =
-------------
VI9IVI

Rimangono da interpretare le due sequenze di numerali romani nella somma finale: VI, che può essere 6 o 51, e IVI che può essere interpretata in tre modi diversi: 151, 41, e 16.

Un dubbio

Un problema aperto (che speriamo non sia determinante per la soluzione) è la lettura delle cifre: le piú significative saranno scitte a destra, come vuole la convenzione che abbiamo ereditato dagli arabi, o saranno scritte a sinistra, come sembra suggerire l'allineamento?

Alla prova del 9

Per cercare di limitare le possibili interpretazioni possiamo osservare che non tutte le interpretazioni hanno la stessa congruità modulo 9. Specificamente, mentre le sequenze “additive” (simbolo di valore maggiore seguito da simboli di valori non inferiori) hanno tutte lo stesso valore modulo 9, quelle potenzialmente sottrattive (simbolo di valore inferiore seguito da simbolo di valore maggiore) possono avere due possibili interpretazioni, con valori modulo 9 che differiscono di un valore pari alla differenza tra il valore additivo e quello sottrattivo del simbolo di valore inferiore.

Nel nostro caso, le uniche coppie ambigue sono IV per cui la differenza di valore sarà 2. Come esempio, vediamo che VI alla “prova” del 9 darà sempre 6 (sia che venga letto come 6, sia che venga letto come 51), per IV abbiamo due valori diversi a seconda che IV abbia valore “additivo” (15 = 6) o “sottrattivo” (4).

Per la somma finale, alla prova del 9 abbiamo quindi due possibili valori: 4 (interpretazione additiva di IV) oppure 2 (intepretazione “sottrattiva” di IV).

Il secondo addendo ha pure un'unica sequenza IV, e quindi due interpretazioni: 3 (additiva) e 1 (sottrattiva).

Il primo degli addendi ha invece due sequenze IV , e quindi ha tre possibili valori (a seconda che le due sequenze siano entrambe additive, entrambe sottrattive, o una additiva ed una sottrattiva, indipendentemente da quale sia quale): i valori associati sono 1 (additive), 6 (sottrattive) e 8 (mista).

Alla prova del nove, le possibili combinazioni dei due addendi sono: 1+1=2, 1+3=4, 6+1=7, 6+3=8+1=0, 8+3=2. Poiché la somma è congrua 4 o 2 modulo, possiamo scartare per il primo addendo l'interpretazione sottrattiva: quindi o entrambe le sequenze del primo addendo vanno lette additivamente, oppure la lettura del primo addendo è mista, e quella del secondo è additiva (caso 8+3=2).

La cifra piú a sinistra

La cifra piú a sinistra della somma è 5 o 6, e quindi le cifre piú a sinistra dei due addendi devono arrivare almeno a 4 o 5, piú un opzionale riporto dalle due cifre successive (supponendo che la notazione metta a sinistra le cifre piú significative).

Osserviamo subito che questo non è possibile se per il primo addendo si utilizza la lettura puramente additiva: in tal caso infatti la cifra piú a sinistra del primo addendo è 1, mentre quella del secondo è al piú 2, arrivando a 3, che è insufficiente.

Ne segue che per il primo addendo si deve usare la lettura mista, con la prima sequenza IV interpretata sottrattivamente (ed a fortiori la seconda interpretata additivamente). Questo ci porta quindi nel caso 8+3=2 della prova del9, che implica un'interpretazione additiva del secondo addendo, e sottrattiva della somma: la sequenza IVI con cui termina quest'ultima può pertanto essere letta solo come 41.

Possiamo quindi ulteriorimente semplificare la nostra crittosomma in

4IIIIIVIII +
IIVIIIII   =
------------
VI941

Dei rimanenti simboli V sappiamo che vanno interpretati additivamente, e quindi o avranno valore 5 (a sé stanti) o saranno parte di sequenze per 6, 7 oppure 8.

Il lungo problema dell'1

Un terzo aiuto nel vincolare le interpretazioni ci viene dal possibile numero di cifre. Per la somma abbiamo solo due possibili interpretazioni: 6941 e 51941, di lunghezza rispettivamente 4 e 5. Nessuno dei due addendi può avere una lunghezza superiore (potrebbero avere una lunghezza inferiore se le cifre meno significative fossero a sinistra ed avessimo un riporto tra quelle piú significative, a destra).

Questo vincolo risulta particolarmente potente in congiunzione con il problema dell'1: un interessante corollario dell'uso del sistema numerico romano per la rappresentazione delle cifre è l'assenza di un modo per rappresentare lo 0: questo ci aiuta perché, non potendovi essere 0 negli addendi, l'unica cosa che può fare spuntare la cifra 1 nella somma è una coppia di cifre con riporto.

Guardando alla somma, abbiamo due possibili interpretazioni rimaste: 6941, e 51941. La seconda, in particolare, ha un 1 in seconda posizione (non sappiamo ancora se per le decine o per le migliaia), e questo non è ottenibile in alcun modo.

Supponiamo infatti che la lettura corretta della somma sia 51941. La cifra piú a sinistra del secondo addendo dovrà quindi essere 1, poiché se dovessimo leggere la sequenza iniziale II come 2, avremmo 4+2=6. (L'alternativa per arrivare a 5 come cifra piú a sinistra piú significativa richiederebbe un riporto dalle cifre precedenti, che però possono essere lette al massimo come 5+2=7, e non potremo mai avere un riporto di 4 dalle cifre ancora precedenti per arrivare ad un riporto dalle seconde.)

Saremmo quindi a

4IIIIIVIII +
11VIIIII   =
------------
51941

ma diventa a questo punto impossibile ottenere un 1 in seconda posizione, non potendo esserci uno zero nel primo addendo, o un riporto tale da lasciare un 1.

L'unica lettura possibile per la somma è quindi 6941, e questo richiede (sempre per una questione di riporti) che la cifra piú a sinistra del secondo addendo sia un 2: la nostra crittosomma è ora parzialmente risolta come

4IIIIIVIII +
2VIIIII    =
------------
6941

e possiamo affermare che tutti e tre i termini sono composti da 4 cifre: potrebbero essere 3 con un opportuno riporto dalla somma delle cifre piú significative, ma il primo addendo non può avere solo 3 cifre.

Il vincolo sulle lunghezze è particolarmente importante per l'interpretazione del secondo addendo, per il quale rimangono 6 simboli per 3 cifre, con poche letture possibili: 811; 721 o 712; 631, 622 o 613, ed infine 532 o 523.

Anche qui ci viene in aiuto la questione dell'1 (terminale, stavolta), che risolve, insieme al vincolo delle lunghezze, anche la questione dell'ordine delle cifre: l'unico modo per ottenere un 1 come cifra piú significativa sarebbe un riporto da due addenti con tre cifre, e come già detto il primo addendo non può avere solo 3 cifre.

Da questo si deducono due fatti importanti: le cifre meno significative sono a destra (quindi alla fine otterremo numeri con le cifre ordinate secondo la convenzione cui siamo abituati), e per gli addendi queste sono rispettivamente 8 e 3, le uniche letture possibili per ottenere un riporto che ci lasci indietro l'1 della somma:

4IIIII8 +
2VII3   =
---------
6941

che lascia come possibili letture per il secondo addendo solo 2613 o 2523. E poiché dobbiamo arrivare a 9 come seconda cifra da sinistra, ed abbiamo al piú 3 dal primo addendo, e nessun riporto, la cifra dopo il 2 deve essere un 6, con un 3 in sua corrispondenza sul primo addendo, che ci permette una completa risoluzione del problema:

4328 +
2613 =
------
6941

  1. non è esplicitamente enunciato nel testo, ma stiamo supponendo che si utilizzi solo la grafia che non prevede piú di 3 simboli uguali consecutivi, benché in realtà la forma additiva con quattro I sia storicamente attestata. ↩