Versione tl;dr (e conclusioni di tutto il discorso): lavorare per qualcuno e lavorare con qualcuno sono due tipi di relazioni indipendenti: si può quindi lavorare per qualcuno, ma non con loro; si può lavorare per qualcuno e con loro; si può lavorare con qualcuno, ma non per loro. Sono quindi due insiemi con intersezione non vuota.

Motivazione: una delle tipiche discussioni inutili che si fanno per passare tempo in palestra.


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Per una comprensione più dettagliata del discorso, cominciamo con un breve ripasso di teoria degli insiemi (solo quello che serve).

Sia X un insieme. Una relazione (binaria) tra gli elementi di X è un sottoinsieme del prodotto cartesiano di X con sé stesso. Se RX×X è una relazione ed x,yX, diremo che x è in relazione con y (secondo R) se (x,y)R, ed in tal caso scriveremo per semplicità xRy.

Su uno stesso insieme X si possono definire più relazioni. Alcuni tipi di relazione sono particolarmente diffusi e/o importanti. Tra questi ricordiamo:

relazioni d'ordine

una relazione RX×X si dice d'ordine se essa gode delle proprietà riflessiva (xRx per ogni xX), antisimmetrica (se xRy e yRx allora x=y) e transitiva (se xRy e yRz allora xRz); un esempio classico di relazione d'ordine è la relazione di minore o uguale definita sui numeri (naturali, razionali, reali);

relazioni d'ordine stretto

una relazione RX×X si dice d'ordine stretto se essa gode delle proprietà irriflessiva (xRx per nessun xX), asimmetrica (se xRy allora non può aversi yRx) e transitiva (se xRy e yRz allora xRz); un esempio classico di relazione d'ordine stretto è la relazione di minore definita sui numeri (naturali, razionali, reali);

relazioni di equivalenza

una relazione RX×X si dice di equivalenza se essa gode delle proprietà riflessiva (xRx per ogni xX), simmetrica (se xRy allora yRx) e transitiva (se xRy e yRz allora xRz); un esempio classico di relazione d'ordine è la relazione di similitudine definita sull'insieme dei triangoli del piano.


Veniamo ora alla nostra questione: prendiamo l'insieme X delle persone che lavorano, e definiamo su questo insieme due relazioni.

La prima relazione, che indicheremo con C, è la relazione del ‘lavorare con’. Se x,y sono persone ed x lavora con y, scriveremo xCy. Questa relazione gode sicuramente della proprietà riflessiva (nel senso che ciascuno lavora con sé stesso) e di quella simmetrica (se uno lavoro con un altro, è anche vero che l'altro lavora con l'uno); se quando uno lavora con un altro e questo lavori con una terza persona è sempre vero che il primo lavori con il terzo, allora sarà anche vera la proprietà transitiva e quindi la relazione C potrà essere considerata una relazione d'equivalenza.

La seconda relazione, che indicheremo con P, è la relazione del ‘lavorare per’. Se x lavora per y, scriveremo xPy. A seconda se si ammette che si lavori per sé stessi o meno, la relazione P è abbastanza ovviamente una relazione di ordine semplice o in senso stretto.

Siccome si ha C,PX×X, possiamo calcolare l'intersezione delle due relazioni (ovvero lavorare per e con qualcuno) e questa sarà ancora una relazione tra gli elementi di X (CPX×X). Se essa è vuota, non vuota, uguale alla diagonale (ovvero se ogni elemento è in relazione ‘per e con’ solo con sé stesso) o altro dipende ovviamente dalle relazioni C e P.

Facciamo un esempio. Sia dato un insieme X i cui elementi sono a,b,c,d e supponiamo che le relazioni C e P siano così definite:

  • b lavora con a e con d; considerando la simmetria e riflessività di C, avremo le relazioni aCa,bCb,cCc,dCd,aCb,bCa,bCd,dCb (in questo caso stiamo supponendo che non valga la proprietà transitiva, ed in particolare che anche se b lavora con a e con d, a non lavora con d)
  • a e b lavorano per c, e b lavora anche per d; senza considerare la riflessività per P, avremo aPc, bPc, bPd (questa relazione P è una relazione d'ordine in senso stretto)

In tal caso, la relazione lavorare per e con lega soltanto b e d essendo (b,d) l'unico elemento dell'intersezione CP (relazioni bCd e bPd)

Se nella relazione P si avesse pure bPa, gli elementi di CP sarebbero (b,d) e (b,a).

Se invece in P considerassimo anche la riflessività (cioè che ciascuno lavora per sé stesso), allora a lavorare per e con qualcuno saranno: ciascuno con sé stesso, b per e con d: (a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(b,d).